Problemi risolvibili con riga e compasso

Quando sosteniamo che un problema è risolvibile con riga e compasso si intende che il problema si può ricondurre ad una successione finita di operazioni che rientrano tra le seguenti:

a)dati due punti costruire la retta che passi per essi;

b)dato un punto e un segmento trovare una circonferenza che ha quel punto come centro e quel segmento come raggio;

c)date due rette trovare il punto in comune;

d)data una retta e una circonferenza trovare i punti comuni;

e)date due circonferenze trovarne i punti comuni.

Queste costruzioni sono state espresse in “linguaggio moderno”;Euclide non parla di retta ma di segmento prolungabile.Nei problemi della geometria piana tutte le operazioni si riducono ad applicare più volte, in numero finito,le operazioni descritte: la loro esecuzione pratica è affidata alla riga e al compasso.E’ proprio per questa elementarità delle operazioni, si chiama elementare un problema geometrico quando, per la risoluzione, occorre soltanto l’uso di questi strumenti.Sappiamo che sono risolvibili con riga e compasso solo quei problemi che col sussidio dell’algebra conducono a delle equazioni di 1° e 2° grado.

Esempio di costruzione del segmento quarto proporzionale con i seguenti dati:

siano a,b,c i tre segmenti dati, si vuol costruire un segmento d che formi con i precedenti la proporzione:

 a : b=c : d

Sopra un lato di un angolo qualunque si prendano a partire dal vertice O, i segmenti OA = a.

 AB=b e sopra l’altro lato, il segmento OC=c.

      

Richiami

Si sostiene che le grandezze di due insiemi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali (o semplicemente proporzionali) quando il rapporto tra due qualunque grandezze del primo insieme è uguale al rapporto delle grandezze corrispondenti dell’altro.

            

  In generale, dopo aver risolto algebricamente un problema,bisogna passare alla costruzione geometrica delle espressioni algebriche trovate,il che in sostanza significa costruire un segmento la cui lunghezza sia data dalle accennate espressioni.

a)somma        x=a+b           

b)differenza    x=a-b            

                                                

c1)il prodotto        

è più conveniente considerare x come quarto proporzionale dopo c,a,b (e poi considerare c=a1) cioè:

                                               c : a = b : x

Cioè  e quindi   posto c=1 si ha l’operazione richiesta.    

Cioè 

  e quindi: 

   

posto c=1 si ha l’operazione richiesta.

c2)Analogamente se l’espressione si presenta nella forma

                   

E quindi si riduce alla costruzione del quarto proporzionale.

  D)        osserviamo che essa si può scrivere nel seguente modo:

                             cioè          

X è medio proporzionale tra i segmenti a e b e si costruisce.

 

 

COSTRUZIONE DEL SEGMENTO MEDIO PROPORZIONALE FRA DUE SEGMENTI DATI

Diciamo il segmento BD medio proporzionale.

Infatti il triangolo ADC è rettangolo perché iscritto in una semicirconferenza, per il teorema di Euclide l’altezza è medio proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa cioè:

                                    a : x = x : b

E) Il teorema di Pitagora ci dice che                si costruisce come ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono a e b  

  F)

                              

  COSTRUZIONE DI 

  Come abbiamo visto, è un numero algebrico perché soddisfa   

Questa equazione esprime che la diagonale di un quadrato è incommensurabile con il suo lato.Supposto il lato del quadrato come unità di misura per il teorema di Pitagora

                                  x =

Riportiamo un segmento unitario sull’asse dei numeri.

    Costruzione   di   

Dato un segmento a, in generale anche a può essere costruito col solo uso della riga e del compasso.Su una retta si riporta OA=a e AB=1 come in figura.Si traccia un cerchio di diametro OB e si costruisce la perpendicolare a OB passante per A: sia C la sua intersezione con il cerchio. Il triangolo OBC è rettangolo in C,perché, come è noto dalla geometria elementare un angolo iscritto in mezzo a circonferenza è retto.Quindi OCA=ABC, i triangoli rettangoli OAC e CAB sono simili e si ha, per x=AC

                                       

I Greci tuttavia si sono comportati come se sapessero che i tre cosiddetti problemi classici della geometria erano insolvibili con riga e compasso e hanno escogitato altri procedimenti per risolverli.Questo è accaduto per:

      1)   Duplicazione del cubo         

      2)   Trisezione dell’angolo generico

3)   Quadratura del cerchio

I primi due sono problemi algebrici il terzo non è un problema algebrico ma come vedremo trascendente.

Vediamo come gli antichi hanno risolto questi problemi dandone soluzione con metodi diversi da quelli della geometria elementare.